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>Une construction algébrique classique (et un peu laborieuse) du corps des quaternions. L'étude des idéaux (non bilatères!) permet de démontrer le théorème de Lagrange : tout nombre entier est somme de quatre carrés. Joli, non?

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Une construction du corps des quaternions à l'aide des matrices 2x2 à coefficients complexes. Puis on démontre le théorème de Frobenius (1880) : toute R-algèbre intègre de dimension finie est isomorphe à R, C ou H.

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On étudie iciles anneaux , en particulier leur principalité. Suivent deux applications : l'une à la résolution des équations dites de Pell-Fermat, l'autre à la résolution de l'équation x^3-y^2=2 dans Z.

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Abordables dès la Sup, ces deux petits problèmes sont parfaits pour réviser. Le premier consiste à trouver les polynômes solutions d'une certaine équation, et fait appel à l'arithmétique dans K[X]. Le second donne un encadrement très classique des racines réelles d'un polynôme.

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Ce corrigé est manuscrit.

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Deux exercices (E3A PSI 2011 et TPE Épreuve pratique 1985) et un problème (la moitié de l'épreuve CAPES Externe de Mathématiques 2009) de « révision » sur les polynômes et les nombres complexes.

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Le but du problème est d'étudier les polynômes de C[X] divisibles par leur polynôme dérivée seconde. L'intérêt est assez limité, mais c'est excellent pour revoir le cours de Sup sur les polynômes.

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Il s'agit d'un extrait du sujet de l'ENS  PC 2009. Cet extrait est très classique et intéressant. La partie du sujet non reproduite ici était nettement plus difficile.

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Ce sujet, assez court, est consacré aux suites de Sturm, et à leur application à la localisation  des racines d'un polynôme. Il est peut être complété par une séance de TD d'informatique. Il est inspiré par ENSI 1992 Épreuve pratique.

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La conjecture d'Ilieff-Sendov (toujours non démontrée dans le cas général) concerne la "proximité" des racines d'un polynôme et de son polynôme dérivé. Ce problème, assez délicat, démontre cette conjecture dans certains cas particulier.

D'après ENS Ulm 1989 MP

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Le but de ce problème est l'étude d'ensembles de polynômes prenant sur certaines parties des valeurs particulières et, notamment une caractérisation des polynômes prenant des valeurs entières pour tous les nombres premiers.

Source: CAPES externe 2002

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Sujet X PC 2006. Joli problème, pas très long, qui demande de la réflexion.

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Ce sujet propose une étude assez complète des polynômes de Tchebychev. Outre leur définition, il en donne diverses caractérisations originales. Incontournable!

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Très joli problème, avec de nombreuses ramifications (!) , issu de l'épreuve paratique CCP 1996. Pas très facile.

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>Les formules de Newton permettent d'exprimer les sommes des puissances des racines d'un polynôme à l'aide des fonctions symétriques élémentaires de ces racines; les résultats sont appliqués pour le calcul des valeurs de  dzeta(n) pour n=2,3,4.

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Corrigé manuscrit. Mais il y a eu des problèmes de scan...

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Beaucoup de résultats très classiques dans ce problème, qui sont régulièrement abordés dans les sujets de concours. Incontournable.

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  • Le premier problème, très classique, étudie l'équation f o g = af + bg lorsque f et g sont des projecteurs. Assez facile, et cela permet de réviser pas mal de notions de Sup en Algèbre linéaire. Il est issu de ENSAIT 1992
  • Le second problème est plus difficile, et plus interessant. Il s'interesse aux nombres algébriques et transcendants, et étudie les nombres constructibles à la règle et au compas. Il est issu de MINES-PONTS MP 1996
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